444666067484770
 

Artículo.

  • Rocky Solis

El Enig-matemático Triángulo




Uno de los patrones numéricos más conocidos del mundo es el Triángulo de Pascal. Blaise Pascal fue el primero en escribir esta idea en 1654, aunque el patrón era conocido anteriormente por el poeta Persa Omar Khayyam, alrededor del año 1100, e incluso mucho antes en India y China.


¿En qué consiste el Triángulo de Pascal?


Se comienza con un triángulo de tres 1’s, uno en cada vértice, y se asigna a cada espacio en una diagonal debajo de estos, la suma de los dos números de arriba, considerando un cero en los espacios más allá de las aristas iniciales. Los matemáticos han discutido el rol del Triángulo de Pascal por años en la Teoría de la Probabilidad, en la expansión de binomios para formar (x+y)^n, y en varias aplicaciones de la Teoría de Números. Se han desarrollado muchos estudios para revelar maravillas, específicamente patrones geométricos en las diagonales, la existencia de patrones de cuadrados perfectos, con varias propiedades hexagonales, y una extensión del triángulo y sus patrones en números negativos y dimensiones más altas.


Triángulo de Pascal @Wikimedia Commons

Patrones y propiedades


El Triángulo de Pascal es simétrico.
El pico siempre debe de ser el número 1 y en los contornos ceros (0) imaginarios.
Como los números son infinitos, hay muchas posibilidades de sumar y por eso el triángulo es infinito.
Uno de sus patrones más conocidos es que la primera diagonal son solo unos ¡La segunda diagonal son los números naturales, esos los que usamos para contar!
Los números de la tercera diagonal son números triangulares, unidades con las que se puede formar un triángulo equilátero y son el tercer número de cada fila.
y los números de la cuarta diagonal son los números tetraédricos, unidades suficientes para crear pirámides y son el cuarto número de cada fila.

Si sumas las filas se obtienen potencias de dos.

2^0=1

2^1=2

2^2=4

2^3=8

2^4=16


En la segunda diagonal los números cuadrados n^2 se pueden obtener sumando el número de a un lado más el de abajo. Por ejemplo, 4^2 = 6 + 10 = 16.


También, si coloreamos los números pares de un color y los impares de otro, se obtiene el mismo patrón del triángulo de Sierpinski. ¿Quién es Sierpinski y su triángulo? Quédate leyendo… más adelante hablaremos de él.



Sierpinski fue un reconocido matemático, quien trabajó específicamente en el área de los fractales. Hay tres fractales nombrados a su honor, la Curva de Sierpinski, la Alfombra de Sierpinski, y el Triángulo de Sierpinski.


Un fractal es una estructura básica que se repite en diferentes escalas. El Triángulo de Sierpinski es uno de los fractales más conocidos del mundo, una explicación básica del fractal es que tenemos un triángulo, y luego podemos trazar un triángulo por los puntos a mitad de los lados del triángulo inicial, y luego se crean tres triángulos del mismo tamaño del que dibujamos, hacemos lo mismo con ellos hacia donde queramos, este patrón es infinito.


Waclaw Sierpinski @Rocky Solis

Con la suma de los elementos de otras diagonales (en otro ángulo, agrupando elementos de distintas diagonales iniciales) se puede obtener la secuencia de Fibonacci, como se muestra a continuación:


Al utilizar las posiciones numéricas de las filas del triángulo, se pueden obtener las potencias de 11. Por ejemplo, en la sexta fila están los números 1, 5, 10, 10, 5 y 1, y si hacemos la operación de 1(10^5) + 5(10^4) + 10(10^3) + 10(10^2) + 5(10^1) + 1(10^0) = 161,051, se obtiene el mismo resultado que 11^5.

Ahora, si sumamos n elementos de alguna diagonal, el resultado es igual al elemento n-ésimo de la diagonal siguiente. Eso lo podemos ver como un palito de hockey en el Triángulo de Pascal. Por ejemplo, sumamos tres elementos de la quinta diagonal, el resultado es igual al tercer número de la sexta diagonal.


Si modificamos el Triángulo de Pascal, de modo que todos los números impares sean unos y los pares sean ceros, y traducimos cada fila de código binario a decimal, obtenemos la siguiente secuencia: